درباره معادلات ناویر استوکس

مقدمه:

معادلات ناویر استوکس ، پس از آنکه کلود لویس ناویر ،‌جورج گابریل استوکس حرکت سیالات تراکم ناپذیر ویسکوز را تشریح کردند ، نام گذاری شدند . این معادلات با به کار بردن قانون دوم نیوتن برای حرکت سیال به دست می آیند . در کنار این فرض که تنش در سیال شامل یک جمله ویسکوزیته ( مربوط به گرادیان سرعت ) به اضافه یک جمله فشار می باشد . 

درباره معادلات ناویر استوکس:

این معادلات یکی ازپرکاربرد ترین دسته معادلات هستند زیرا که تنها فیزیک بسیاری از پدیده های علمی وباسود اقتصادی را تشریح می کنند .از کاربرد های این معادلات می توان به این موارد اشاره کرد :

مدل کردن هوا ، جریان های اقیانوسی ، جریان جاری در یک لوله ، جریان اطراف یک ایرفویل (بال) ، و حرکت ستارگان در کهکشان .

هم چنین این معادلات در هر دو  فرم کامل یا ساده سازی شده، در طراحی سفینه و ماشین ها،مطالعه جریان خون، طراحی نیروگاهها ، تحلیل اثرات آلودگی و ... مورد استفاده واقع می شوند.

این معادلات در کنار "معادلات ماکسول" می توانند جهت مدلسازی و مطالعه " هیدرودینامیک مغناطیسی " استفاده شوند .

معادلات ناویر- استوکس ناشی از از یک درک ریاضی کامل می باشند . چیزی که شگفت آور است ، اینکه با وجود دامنه وسیع کاربردهای آنها ، ریاضی دان ها هنوز اثبات نکرده اند که در سه بعد حل  همیشه وجود دارد ، یا اینکه اگر وجود دارد شامل بینهایت ها ، تکین ها یا ناپیوستگی ها نمی شوند . این موارد مسائل " وجود و صافی ( همواری) معادلات ناویر استوکس" خوانده می شوند. "موسسه ریاضی کلای" این مساله را یکی از مهمترین مسائل باز در ریاضی نام برده و مبلغ 1000000دلار آمریکا را برای حل آن پیشنهاد داده است .

معادلات ناویر استوکس معادلات دیفرانسیلی هستند که بر خلاف معادلات جبری ، رابطه صریح را ما بین متغیرهای مطلوب ( سرعت و فشار ) برقرار نمی کنند . در عوض آنها روابطی ما بین نرخ ها برقرار می کنند . برای مثال معادلات ناویر استوکس برای مورد ساده از یک سیال ایده آل( ویسکوز و تراکم ناپذیر ) می تواند بیان کند که شتاب ( نرخ تغییر سرعت ) مربوط می باشد به گرادیان(یک نمونه مشتق جزیی) فشار .

برخلاف آنچه معمولاً در مکانیک جامدات دیده می شود ، معادلات ناویر استوکس موقعیت را اعمال نمی کند ، بلکه سرعت  را. پاسخ معادلات ناویر استوکس، میدان سرعت یا میدان جریان خوانده می شود ، که بیان کننده سرعت سیال در یک نقطه داده شده در فضا و زمان می باشد . با حل شدن میدان سرعت ، دیگر کمیت های مطلوب نظیردبی سیال ، نیروی دراگ ، مسیر جریان یک ذره سیال و ... ممکن است به دست آیند . 

ویژگی ها:‌

غیر خطی بودن

معادلات ناویر استوکس در تمام وضعیت های حقیقی ، معادلات دیفرانسیل جزیی ( pde ) غیر خطی هستند .

مگر در مواردی هم چون جریان یک بعدی و یا جریان استوکس ( جریان خزنده ) .

غیر خطی بودن ، بسیاری از مسائل را دشوار یا غیر قابل حل می کند و عامل اصلی است در توربولانسای که معادلات مدل می کنند .

غیر خطی بودن ناشی است از شتاب جابجایی ، که شتابی وابسته به تغییر سرعت نسبت به مکان می باشد. بنابراین هر جریان جابجایی ، خواه توربولنت باشد یا نه، شامل غیر خطی بودن خواهد بود . یک نمونه از جریان جابجایی اما لامینار (آرام) عبور سیال ویسکوز ( مثلاً روغن) است در داخل یک نازل همگرای کوچک . اینگونه جریان ها ، خواه به طور دقیق قابل حل باشند یا نه، اغلب می توانند به طور کامل مطالعه و درک شوند.

توربولانس ( اغتشاش )

توربولانس ، رفتار بی نظم وابسته به زمان است که در بسیاری از جریانات سیال دیده می شود . به طور کلی پذیرفته شده است که این پدیده ناشی از اینرسی سیال است . به همین دلیل جریان هایی که در آنها اثرات اینرسی کم است لامینار خواهند بود . "عدد رینولدز" تعیین می کند که جریان تا چه حدی تحت تاثیر اینرسی است .

اعتقاد بر این است ( هر چند به طورقطعی معلوم نگشته ) که معادلات ناویر استوکس ، توربولنس را به طور صحیح شرح می دهند .

کاربرد پذیری

در کنار معادلات تکمیلی ( به عنوان مثال ، پایستگی جرم ) و شرایط مرزی فرمول بندی شده ، معادلات ناویر استوکس حرکت سیال را به دقت مدل می کنند . حتی جریانات مغشوش ( به طور میانگین ) با مشاهدات جهان واقعی هم خوانی دارند .

معادلات ناویراستوکس فرض می کند که سیال مورد مطالعه یک محیط پیوسته کانتینیوم است . در ابعاد بسیار کوچک یا تحت شرایط کرانی ، سیالات واقعی از مولکول هایی مجزا تشکیل شده اند که نتایج متفاوتی تولید می کند نسبت به سیالات پیوسته که با معادلات ناویر استوکس مدل شده اند .

منبع:http://m-dehghanian.ir